SISTEMA GRACELI ESTADO-DIMENSIONAL-CATEGORIAL [COM MAIS DE DUZENTAS DIMENSÕES]

 

SISTEMA GRACELI ESTADO-DIMENSIONAL-CATEGORIAL [COM MAIS DE DUZENTAS DIMENSÕES]

julho 27, 2021

 

SISTEMA DE MAIS DE DUZENTAS DIMENSÕES NO SDCTIE GRACELI

julho 25, 2021

 

TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, ESTADOS DE GRACELI TÉRMICOS E ESTADOS DOS ELEMENTOS QUÍMICO [ESTADOS ESPECÍFICOS DA MATÉRIA E ESTRUTURAS DE ELEMENTOS QUÍMICOS] [ONDE OS ESTADOS DOS ELEMENTOS QUÍMICO, MOLÉCULAS, ESTRUTURA ELETRÔNICA E MOLECULAR, E SUA TOPOGEOMETRIA DIMENSIONAL PASSAM A SEREM DIMENSÕES REPRESENTANDO ESTRUTURAS, ENERGIAS, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, FENÔMENOS, E OUTROS, LEVANDO AS DIMENSÕES PARA MAIS DE DUZENTAS].

   fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll * D
        

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 [ESTADO QUÂNTICO].

ONDE ESTADOS QUÍMICO, ESTADOS E NÍVEIS DE ENERGIA, MOLÉCULAS E OUTROS PASSAM A SER DIMENSÕES, FORMANDO ASSIM, UM SISTEMA DE MAIS DE DUZENTAS DIMENSÕES.

E CATEGORIAS FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI. QUE SÃO.

TIPOS DE ESTRUTURAS, ENERGIAS, FENÔMENOS, E OUTROS.

INTENSIDADE OU NÍVEIS DE TRANSFORMAÇÕES,

POTENCIAL DE INTERAGIR, DE TRANSFORMAR, E OUTROS.

E TEMPO DE AÇÃO, ONDE OS FENÔMENOS NÃO OBEDECEM UMA HOMOGENEIDADE NOS PROCESSOS, DO INÍCIO AO FIM.

VEJAMOS PARA NÍVEIS DE ENERGIA NO ÁTOMO.

X

Lista de sistemas mecânicos quânticos com soluções analíticas

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Um sistema de mecânica quântica é um sistema no qual o comportamento de suas partículas pode ser explicado através da matemática incorporando a quatro princípios:

1. A quantização da energia; onde a troca de energia ocorre em pacotes de energia discreta e a transferência não é contínua, como descrito por Max Planck.
2. A dualidade matéria-energia, que primeiro foi considerada por James Maxwell que a luz é uma onda eletromagnética e, descoberto por Einstein, a natureza da partícula da luz. Doravante, a luz é considerada como tendo natureza dual.
3. O princípio da incerteza que estabelece um limite na precisão com que certos pares de propriedades de uma dada partícula física. Como Werner Heisenberg afirmou, em escalas microscópicas, a natureza em si não permite as medidas de posição e momento das partículas simultaneamente.
4. Finalmente, o princípio da correspondência onde todas as grandezas do do mundo quântico (usualmente microscópico) tem sua correspondência no mundo clássico. Como colocado por Niels Bohr: A física clássica e física quântica dão as mesmas respostas quando o sistema se torna grande^[1].

Definição matemática

Muito da compreensão da mecânica quântica pode ser obtida a partir da compreensão das soluções de forma fechada para a equação de Schrödinger não relativista dependente do tempo em um espaço de configuração apropriada. Em coordenadas cartesianas vetoriais ${\displaystyle \mathbf {r} }$, a equação assume a forma:${\displaystyle H\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left(T+V\right)\,\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\left(\mathbf {r} \right)\right]\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=i\hbar {\frac {\partial \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)}{\partial t}}}$

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em que ${\displaystyle \psi }$ é a função de onda do sistema, H é o operador hamiltoniano e T e V são os operadores da energia cinética e energia potencial, respectivamente. (Formas comuns desses operadores aparecem nos colchetes.) A quantidade t é o tempo. Os estados estacionários dessa equação são encontrados resolvendo-se a função de autovalores e autovetores (independente do tempo) da equação de Schrödinger,

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\left(\mathbf {r} \right)\right]\psi \left(\mathbf {r} \right)=E\psi \left(\mathbf {r} \right)}$

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ou qualquer formulação equivalente desta equação em um sistema de coordenadas diferente das coordenadas cartesianas. Por exemplo, sistemas com simetria esférica são simplificados quando expressos com coordenadas esféricas. Muitas vezes, apenas soluções numéricas para a equação de Schrödinger podem ser encontradas para um determinado sistema físico e sua energia potencial associada. Existe um subconjunto de sistemas físicos para os quais a forma das funções de autofunções e suas energias associadas podem ser encontradas.

Esses sistemas mecânicos quânticos com soluções analíticas estão listados abaixo.

Sistema quântico de dois estados

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Na mecânica quântica, um sistema de dois estados (também conhecido como sistema de dois níveis) é um sistema quântico que pode existir em qualquer superposição quântica de dois estados quânticos independentes (fisicamente distinguíveis). O espaço de Hilbert descrevendo tal sistema é bidimensional. Portanto, uma base completa que liga o espaço consistirá em dois estados independentes. Qualquer sistema de dois estados também pode ser visto como um qubit.

Representação do sistema quântico de dois estados

O estado de um sistema quântico de dois estados pode ser descrito por um espaço bidimensional complexo de Hilbert. Isso significa que cada vetor de estado ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$ é representado por duas coordenadas complexas:

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}};}$ onde, ${\displaystyle c_{1}}$ and ${\displaystyle c_{2}}$ são as coordenadas.^[1]

Se os vetores são normalizados, ${\displaystyle c_{1}}$ e ${\displaystyle c_{2}}$ são relacionados por ${\displaystyle {|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1}$. Os vetores base são representados como ${\displaystyle |0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ e ${\displaystyle |1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$ 

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Todas as grandezas físicas observáveis associadas a este sistema são matrizes Hermitianas 2 ${\displaystyle \times }$ 2 . O Hamiltoniano do sistema é também uma matriz Hermitiana 2 ${\displaystyle \times }$ 2.

Na mecânica quântica, o potencial delta é um poço de potencial matematicamente descrito pela função delta de Dirac - uma função generalizada. Qualitativamente, corresponde a um potencial^{[nt 1]} que é zero em todos os lugares, exceto em um único ponto, onde leva um valor infinito^[2].

Potencial delta único

A equação de Schrödinger independente do tempo para a função de onda ψ(x) de uma partícula em uma dimensão em um potencial V(x) é

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)~,}$

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onde ħ é a constante reduzida de Planck e E é a energia da partícula.

O potencial delta é o potencial

${\displaystyle \displaystyle V(x)=\lambda \delta (x)~,}$

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onde δ(x) é a função delta de Dirac.

É chamado um potencial de poço delta se λ é negativo e um potencial de barreira delta se λ é positivo. O delta foi definido para surgir na origem por simplicidade; uma mudança no argumento da função delta não altera nenhum dos resultados procedentes^[3].

Potencial de Pöschl-Teller

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Em física matemática, um potencial de Pöschl-Teller, em homenagem aos físicos Herta Pöschl e Edward Teller, é uma classe especial de potenciais para os quais a equação de Schrödinger unidimensional pode ser resolvida em termos de funções especiais.

Definição

Na sua forma simétrica sua definição é explicitamente dada por^[1]

${\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)}$

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e as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\psi ''(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)}$

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com este potencial pode ser encontrado em virtude da substituição ${\displaystyle u=\mathrm {tanh(x)} }$, que produz

${\displaystyle \left[(1-u^{2})\psi '(u)\right]'+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+{\frac {2E}{1-u^{2}}}\psi (u)=0}$.

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Assim as soluções ${\displaystyle \psi (u)}$ (são apenas as funções de Legendre ${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(\tanh(x))}$ com ${\displaystyle E={\frac {-\mu ^{2}}{2}}}$,

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 e ${\displaystyle \lambda =1,2,3\cdots }$, ${\displaystyle \mu =1,2,\cdots ,\lambda -1,\lambda }$.^[2][3] Além disso, os autovalores e os dados de espalhamento podem ser explicitamente computados^[4]

No caso especial do inteiro ${\displaystyle \lambda }$, o potencial é sem reflexão e tais potenciais também surgem como as soluções de sóliton N da equação de Korteweg-de Vries.^[5][6]

A forma mais geral do potencial é dada por^[1]

${\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)-{\frac {\nu (\nu +1)}{2}}\mathrm {csch} ^{2}(x).}$

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Spherium

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

O modelo spherium consiste de dois elétrons presos na superfície de uma esfera de raio ${\displaystyle R}$. Ele tem sido usado por Berry e colaboradores ^[1] para entender tantos sistemas fracamente e fortemente correlacionados e sugeri uma versão "alternativa" para a regra de Hund. Seidl estuda esse sistema no contexto da teoria do funcional da densidade (DFT) para desenvolver a nova funcionais correlaçõe dentro da conexão adiabática.^[2]

Definição e solução

O Hamiltoniano eletrônico em unidades atômicas, é

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\nabla _{1}^{2}}{2}}-{\frac {\nabla _{2}^{2}}{2}}+{\frac {1}{u}}}$

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onde ${\displaystyle u}$ é a distância intereletrônica. Para os estados singletos, pode ser mostrado^[3] que a função de onda satisfaz a equação de Schrödinger

${\displaystyle \left({\frac {u^{2}}{4R^{2}}}-1\right){\frac {d^{2}S(u)}{du^{2}}}+\left({\frac {3u}{4R^{2}}}-{\frac {1}{u}}\right){\frac {dS(u)}{du}}+{\frac {1}{u}}S(u)=ES(u)}$

X

${\displaystyle S(u)=\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}\,u^{k}}$

e substituição na equação anterior produz arelação de recorrência

${\displaystyle s_{k+2}={\frac {s_{k+1}+\left[k(k+2){\frac {1}{4R^{2}}}-E\right]s_{k}}{(k+2)^{2}}}}$

com os valores iniciais ${\displaystyle s_{0}=s_{1}=1}$. Assim, a condição de cúspide Kato é

${\displaystyle {\frac {S'(0)}{S(0)}}=1}$.

A função de onda reduz para o polinomial

${\displaystyle S_{n,m}(u)=\sum _{k=0}^{n}s_{k}\,u^{k}}$

(onde ${\displaystyle m}$ o número de raízes entre ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 2R}$) se, e somente se, ${\displaystyle s_{n+1}=s_{n+2}=0}$. Assim, a energia ${\displaystyle E_{n,m}}$ é uma raiz da equação polinomial ${\displaystyle s_{n+1}=0}$ (onde ${\displaystyle \deg s_{n+1}=\lfloor (n+1)/2\rfloor }$) e o raio correspondente ${\displaystyle R_{n,m}}$ é encontrado a partir da equação anterior, o que gera

${\displaystyle R_{n,m}^{2}E_{n,m}={\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}+1\right)}$

${\displaystyle S_{n,m}(u)}$ é a exata função de onda do ${\displaystyle m}$-esimo estado excitado da simetria singleto S para o raio ${\displaystyle R_{n,m}}$.

Sabemos que a partir do trabalho de Loos e Gill que a energia HF do menor estado singleto S ${\displaystyle E_{\rm {HF}}=1/R}$. Segue-se que a exata correlação energia para ${\displaystyle R={\sqrt {3}}/2}$ é ${\displaystyle E_{\rm {corr}}=1-2/{\sqrt {3}}\approx -0.1547}$ que é muito maior do que a limitação da correlação das energias do íons como hélio (${\displaystyle -0.0467}$) ou os átomos de Hooke (${\displaystyle -0.0497}$). Isso confirma a visão de que a correlação de elétron na superfície de uma esfera é qualitativamente diferente do que em três dimensões de espaço físico.

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Introduzindo a variável adimensional ${\displaystyle x=u/2R}$, isso se torna uma função de Heun com pontos singulares em ${\displaystyle x=-1,0,+1}$. Com base nas conhecidas soluções de Heun, buscamos funções de onda da forma

Pêndulo quântico

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

O pêndulo quântico é fundamental para entender as rotações internas impedidas na química, as características quânticas dos átomos de dispersão, bem como numerosos outros fenômenos quânticos.^[1] Embora um pêndulo não sujeito à aproximação de pequeno ângulo tenha uma não-linearidade inerente, a equação de Schrödinger para o sistema quantizado pode ser resolvida de forma relativamente fácil.^[2][3][4]

Equação de Schrödinger

Usando a teoria lagrangiana da mecânica clássica, pode-se desenvolver um hamiltoniano para o sistema. Um pêndulo simples tem uma coordenada generalizada (o deslocamento angular ${\displaystyle \phi }$) e duas restrições (o comprimento da corda e o plano de movimento). As energias cinéticas e potenciais do sistema podem ser encontradas em

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\phi }}^{2},}$

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${\displaystyle U=mgl(1-\cos \phi ).}$

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Isso resulta no Hamiltoniano

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2ml^{2}}}+mgl(1-\cos \phi ).}$

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A equação de Schrödinger dependente do tempo para o sistema é

${\displaystyle i\hbar {\frac {d\Psi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2ml^{2}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Psi }{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+mgl(1-\cos \phi )\Psi .}$

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É preciso resolver a equação de Schrödinger independente do tempo para encontrar os níveis de energia e os auto-estados correspondentes. Isso é efetuado melhor alterando a variável independente da seguinte maneira:

${\displaystyle \eta =\phi +\pi ,}$

${\displaystyle \Psi =\psi e^{-iEt/\hbar },}$

${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2ml^{2}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} \eta ^{2}}}+mgl(1+\cos \eta )\psi .}$

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Esta é a equação de Mathieu.^[5]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} \eta ^{2}}}+\left({\frac {2mEl^{2}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}\cos \eta \right)\psi =0,}$

onde as soluções são as funções Mathieu.^[6][7][8]

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Na física, uma partícula livre é uma partícula que, em certo sentido, não está vinculada por uma força externa, ou equivalentemente não está em uma região onde sua energia potencial varia. Na física clássica, isso significa que a partícula está presente em um espaço "sem campo". Na mecânica quântica, significa uma região de potencial uniforme, geralmente modulada para zero na região de interesse, uma vez que o potencial pode ser arbitrariamente arranjado para zero em qualquer ponto (ou superfície em três dimensões) no espaço.

Descrição matemática

Partícula livre clássica

A partícula livre clássica é caracterizada simplesmente por uma velocidade fixa v. O momento linear é dado por

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$

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e a energia cinética, que é igual à energia total, é dada por

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}}$

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onde m é a massa da partícula e v é o vetor velocidade da partícula.

Partícula livre quântica

Uma partícula livre na mecânica quântica (não relativística) é descrita pela equação de Schrödinger livre:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)}$

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onde ψ é a função de onda da partícula na posição r e tempo t. A solução para uma partícula com momento p ou vetor de onda k, na freqüência angular ω ou energia E, é dada pela onda plana complexa:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$

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com amplitude A. Como para todas as partículas quânticas livres ou ligadas, o princípio da incerteza de Heisenberg

${\displaystyle \Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}},\quad \Delta E\Delta t\geq \hbar }$

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(da mesma forma para as direções y e z) e as relações De Broglie:^[1]:

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} ,\quad E=\hbar \omega }$

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se aplicam. Como a energia potencial é adotada como zero, a energia total E é igual à energia cinética, que tem a mesma forma da física clássica:

${\displaystyle E=T\,\rightarrow \,{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }$

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Há várias equações que descrevem partículas relativísticas: veja equações de onda relativísticas.^[2][3][4][5]

Função de onda para uma partícula encerrada em uma caixa bidimensional, as linhas de nível sobre o plano inferior estão relacionadas com a probabilidade de presença.

Em física, a partícula em uma caixa (também conhecida como poço de potencial infinito) é um problema muito simples que consiste de uma só partícula que rebate-se dentro de uma caixa imóvel da qual não pode escapar, e onde não perde energia ao colidir contra suas paredes.

Em mecânica clássica, a solução ao problema é trivial: a partícula se move em uma línha reta a uma velocidade constante até que rebate em uma das paredes. Ao rebater, a velocidade é alterada apenas na componente perpendicular à parede, que troca de sinal; o módulo da velocidade não se altera. Uma das soluções possíveis é uma partícula absolutamente estacionária, ou seja, com velocidade zero.

O problema se torna muito interessante quando se tenta resolver dentro da mecânica quântica, já que é necessário introduzir muitos dos conceitos importantes desta disciplina para encontrar uma solução. Entretanto, ainda assim é um problema simples com uma solução definida. Este artígo se concentra na solução dentro da mecânica quântica.

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Descrição quântica do problema

O problema pode apresentar-se em qualquer número de dimensões, mas o mais simples é o problema unidimensional, ainda que o mais útil é o que se centra em uma caixa tridimensional. Em uma dimensão, se representa por uma partícula que existe em um segmento de uma linha, sendo as paredes os pontos finais do segmento.

Em termos da física, a partícula em uma caixa se define como uma partícula pontual, encerrada em uma caixa onde não experimenta nenhum tipo de força (ou seja, sua energia potencial é constante, ainda que sem perda de generalidade podemos considerar que vale zero). Nas paredes da caixa, o potencial aumenta até um valor infinito, fazendo-a impenetrável. Usando esta descrição em termos de potenciais nos permite usar a equação de Schrödinger para determinar uma solução.

Esquema do potencial para a caixa unidimensional.

Como se menciona acima, se estivéssemos estudando o problema sob as regras da mecânica clássica, deveríamos aplicar as leis do movimento de Newton às condições iniciais, e o resultado seria razoável e intuitivo. Em mecânica quântica, quando se aplica a equação de Schrödinger, os resultados não são intuitivos. Em primeiro lugar, a partícula só pode ter certos níveis de energia específicos, e o nível zero não é um deles. Em segundo lugar, as probabilidades de detectar a partícula dentro da caixa em cada nível específico de energia não são uniformes - existem várias posições dentro da caixa onde a partícula pode ser encontrada, mas também há posições onde é impossível fazê-lo. Ambos resultados diferem da maneira usual na que percebemos o mundo, inclusive se estão fundamentados por princípios extensivamente verificados através de experimentos.

Caixa monodimensional

A versão mais precisa se dá na situação idealizada de uma "caixa monodimensional", na qual a partícula de massa m pode ocupar qualquer posição no intervalo [0,L]. Para encontrar os possíveis estados estacionários, é necessário aplicar a equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão para o problema:

${\displaystyle -{\cfrac {\hbar ^{2}}{2m}}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\psi (x)}{\mathrm {d} x^{2}}}=E\psi (x)}$ [1]

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Considerando que o potencial é zero dentro da caixa e infinito fora, e observando que a função de onda se anula fora da caixa, temos as seguintes condições de contorno:

${\displaystyle 0<x<L}$

${\displaystyle {\begin{cases}\psi (0)=0\\\psi (L)=0\end{cases}}}$ [1a]

e em que

${\displaystyle \hbar }$ é a Constante reduzida de Planck,

${\displaystyle m\,}$ é a massa da partícula,

${\displaystyle \psi \left(x\right)\,}$ é a função de onda estacionária independente do tempo^[1] que queremos obter (funções próprias) e

${\displaystyle E\,}$ é a energia da partícula (valor próprio).

As funções próprias e valores próprios de uma partícula de massa m em uma caixa monodimensional de comprimento L são:

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)},\qquad E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}n^{2},\qquad {\mbox{com}}\ n=1,2,3,...}$ [1b]

Níveis de energia (linhas discontínuas) e funções de onda (linhas contínuas) da partícula em uma caixa monodimensional.

Nota-se que só são possíveis os níveis de energia "quantizados". Além disso, como n não pode ser zero (ver mais adiante), o menor valor da energia tampouco pode sê-lo. Essa energia mínima se chama energia do ponto zero e se justifica em termos do princípio de incerteza. Devido à restrição da partícula em mover-se em uma região finita, a variância da posição tem um limite superior (o comprimento da caixa, ${\displaystyle L}$). Assim, de acordo com o princípio de incerteza, a variância do momento da partícula não pode ser zero e, portanto, a partícula deve ter uma certa quantidade de energia que aumenta quando a longitude da caixa L diminui.

Um problema importante na mecânica quântica é o de uma partícula num potencial esfericamente simétrico, isto é, um potencial que depende apenas da distância entre a partícula e um ponto central definido. Em particular, se a partícula em questão é um elétron e o potencial é derivado da lei de Coulomb, então o problema pode ser usado para descrever um átomo de hidrogênio (um elétron ou íon).

No caso geral, a dinâmica de uma partícula em um potencial esfericamente simétrico é governada por um hamiltoniano da seguinte forma:

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V(r)}$

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onde ${\displaystyle m_{0}}$ é a massa da partícula, ${\displaystyle {\hat {p}}}$ é o operador momentum, e o potencial ${\displaystyle V(r)}$ depende apenas de ${\displaystyle r}$, o módulo do vetor raio; r. As funções e energias da onda quântica (autovalores) são encontradas resolvendo a equação de Schrödinger com este hamiltoniano. Devido à simetria esférica do sistema, é natural usar coordenadas esféricas ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \phi }$. Quando isso é feito, a equação de Schrödinger independente do tempo para o sistema é separável, permitindo que os problemas angulares sejam tratados facilmente, e deixando uma equação diferencial ordinária em ${\displaystyle r}$ para determinar as energias para o potencial particular ${\displaystyle V(r)}$ em discussão.

Partícula em um anel

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Na mecânica quântica, o caso de uma partícula em um anel unidimensional é semelhante à partícula em uma caixa^[1][2]. A equação de Schrödinger para uma partícula livre que é restrita a um anel^[3] (tecnicamente, cujo espaço de configuração é o círculo ${\displaystyle S^{1}}$) é

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =E\psi }$

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Função de onda

Usando coordenadas polares no anel unidimensional de raio R, a função de onda depende somente da coordenada angular, e assim

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}}$

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exigindo que a função de onda seja periódica em ${\displaystyle \ \theta }$ com um período ${\displaystyle 2\pi }$ (da demanda de que as funções de onda sejam funções de valor único no círculo), e que elas sejam normalizadas leva às condições

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|\psi (\theta )\right|^{2}\,Rd\theta =1\ }$,

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e

${\displaystyle \ \psi (\theta )=\ \psi (\theta +2\pi )}$

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Nestas condições, a solução da equação de Schrödinger é dada por

${\displaystyle \psi _{\pm }(\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi R}}}\,e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\theta }}$

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Oscilador harmônico quântico

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

O oscilador harmônico quântico é o análogo mecânico quântico do oscilador harmônico clássico. É um dos sistemas modelo mais importante em mecânica quântica, já que qualquer potencial pode ser aproximado por um potencial harmônico nas proximidades do ponto de equilíbrio estável (mínimo). Além disso, é um dos sistemas mecânico quânticos que admite uma solução analítica precisa.

Oscilador harmônico monodimensional

Hamiltoniano, energia e autofunções

Funções de onda para os primeiros seis autoestados, ${\displaystyle v=0{\mbox{ a }}7}$. O eixo horizontal mostra a posição y em unidades (h/2πmω)^1/2. Os gráficos não estão normalizados.

Densidades de probabilidade dos primeiros autoestados (dimensão vertical, com os de menor energia na parte inferior) para as diferentes localizações espaciais (dimensão horizontal)

No problema do oscilador harmônico monodimensional, uma partícula de massa ${\displaystyle \displaystyle m}$ está submetida a um potencial quadrático ${\displaystyle \displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}}$.

O Hamiltoniano quântico da partícula é^[1]:

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}}$

onde ${\displaystyle {\hat {x}}\,}$ é o operador posição e ${\displaystyle {\hat {p}}\,}$ é o operador momento ${\displaystyle \left({\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}\right)}$. O primeiro termo representa a energia cinética da partícula, enquanto que o segundo representa sua energia potencial. Com o fim de obter os estados estacionários (ou seja, as autofunções e os autovalores do Hamiltoniano ou valores dos níveis de energia permitidos), temos que resolver a equação de Schrödinger independente do tempo

${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle }$.

Pode-se resolver a equação diferencial na representação de coordenadas utilizando o método de desenvolver a solução em série de potências. Se obtém assim que a família de soluções é^[2]

${\displaystyle \left\langle x|\psi _{v}\right\rangle ={\sqrt {\frac {1}{2^{v}\,v!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{v}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}$

${\displaystyle v=0,1,2,\ldots }$

onde ${\displaystyle v\,}$ representa o número quântico vibracional. As primeiras seis soluções (${\displaystyle v=0{\mbox{ a }}5\,}$) se mostram na figura da direita. As funções ${\displaystyle H_{n}}$ são os polinômios de Hermite:

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}}$

Não se devem confundir com o Hamiltoniano, que às vezes se denota por H (ainda que é preferível utilizar a notação ${\displaystyle {\hat {H}}}$ para evitar confusões). Os níveis de energia são

${\displaystyle E_{v}=\hbar \omega \left(v+{1 \over 2}\right)\qquad v=0,1,2,\ldots }$.

Este espectro de energia destaca por três razões. A primeira é que as energias estão "quantizadas" e somente podem tomar valores discretos, em frações semi-inteiras ${\displaystyle 1/2}$, ${\displaystyle 3/2}$, ${\displaystyle 5/2}$, ... de ${\displaystyle \hbar \omega }$. Este resultado é característico dos sistemas mecânico-quânticos^[2].

A segunda é que a energia mais baixa não coincide com o mínimo do potencial (zero neste caso). Assim, a energia mais baixa possível é ${\displaystyle \hbar \omega /2}$, e se denomina "energia do estado fundamental" ou energia do ponto zero.

A última razão é que os níveis de energia estão igualmente espaçados, ao contrário que no modelo de Bohr ou a partícula em uma caixa.

Convém destacar que a densidade de probabilidade do estado fundamental se concentra na origem. Ou seja, a partícula passa mais tempo no mínimo do potencial, como seria de esperar em um estado de pouca energia. A medida que a energia aumenta, a densidade de probabilidade se concentra nos "pontos de retorno clássicos", onde a energia dos estados coincide com a energia potencial. Este resultado é consistente com o do oscilador harmônico clássico, para o qual a partícula passa mais tempo (e portanto é onde seria mais provável encontrá-la) nos pontos de retorno. Se satisfaz assim o Princípio da correspondência.

 Em mecânica clássica ${\displaystyle \displaystyle k=m\omega ^{2}}$ se denomina constante de força ou constante elástica, e depende da massa ${\displaystyle m}$ da partícula e da frequência angular ${\displaystyle \displaystyle \omega }$.

Aplicação: moléculas diatômicas

Ver artigo principal: Molécula diatômica

Para estudar o movimento de vibração dos núcleos pode-se utilizar, em uma primeira aproximação, o modelo do oscilador harmônico. Se consideramos pequenas vibrações em torno do ponto de equilíbrio, podemos desenvolver o potencial eletrônico em série de potências. Assim, no caso de pequenas oscilações o termo que domina é o quadrático, ou seja, um potencial de tipo harmônico. Portanto, em moléculas diatômicas, a frequência fundamental de vibração será dada por^[3]:

${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{\mu }}}}$

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que se relaciona com a frequência angular mediante ${\displaystyle \omega =2\pi \nu \,}$ e depende da massa reduzida ${\displaystyle \mu \,}$ da molécula diatômica.